Perpangkatan dan Bentuk Akar: Sifat, Jenis, Rasional & Operasi Hitung (Rangkuman)

Perpangkatan dan Bentuk Akar, merupakan rangkuman materi matematika kelas 9 SMP/MTS yang mengacu pada sistem kurikulum 2013. Rangkuman Materi BAB 1 Perpangkatan dan Bentuk Akar, ini berisikanmateri tentang sifat bilangan berpangkat, jenis perpangkatan, dan juga contoh pembahasannya.

Kula Nuwun mencoba untuk meringkas materi tentang Perpangkatan dan Bentuk Akar, agar mudah dimengerti. Untuk lebih mudah memahami mata pelajaran matematika kelas 9 pada pembelajaran BAB 1, silakan untuk membaca rangkuman materi berikut ini:

Bilangan Berpangkat

Perpangkatan merupakan suatu bilangan yang memiliki faktor-faktor perkalian yang sama. Bilangan berpangkat berguna untuk menyederhanakan penulisan maupun penyebutan perkalian berulang suatu bilangan yang sama.

Bilangan pokok dalam suatu perpangkatan disebut basis. Banyaknya bilangan pokok yang dikalikan secara berulang disebut eksponen atau pangkat. Sehingga, bentuk bilangan berpangkat secara umum dapat dijabarkan, sebagai berikut:

aⁿ = a × a × a × … × a (dengan n adalah bilangan positif) 

Dimana, a disebut sebagai bilangan pokok (basis), sedangkan n disebut sebagai pangkat (eksponen)

Sebagai contoh:

4 × 4 × 4 ×4 × 4 = 4⁵

4⁵ disebut dengan perpangkatan 4.

4 disebut sebagai bilangan pokok (basis), sedangkan 5 disebut sebagai pangkat (eksponen).

Cara membacanya adalah "empat pangkat lima".

Sifat Perpangkatan (Operasi Hitung)

Untuk lebih memahami bentuk perpangkatan, alangkah lebih baiknya kalian untuk mengetahui sifat-sifat bilangan berpangkat terlebih dahulu. Berikut akan kami sajikan materi operasi hitung dalam bilangan berpangkat. 

Sifat perpangkatan merupakan operasi hitung dalam bilangan berpangkat diantaranya adalah perkalian, pembagian, perpangkatan dan yang lainnya. Ada beberapa bentuk sifat bilangan berpangkat, antara lain sebagai berikut:

1. Perkalian Pada Perpangkatan

Operasi hitung perkalian pada bilangan berpangkat, berlaku sifat perpangkatan seperti di bawah ini:

a. Sifat Perkalian dalam Perpangkatan

Sifat perkalian pertama adalah perkalian dalam perpangkatan, yaitu dengan hasil kali dari perpangkatan dengan basis yang sama, berlaku sifat:

aⁿ × a^m = a^n+m

Supaya lebih paham lagi, perhatikan contoh pembahasan dibawah ini:

4² × 4³ = 4²⁺³  = 4⁵

Check: 4² × 4³ = (4×4)×(4×4×4) = 4×4×4×4×4 = 4⁵

Sebagai Latihan soal, sederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan berikut ini:

• 9⁴× 9³ = ....
• (-3)²× (-3)⁴ = ....
• 0,7³× 0,7⁶ = ....

Jawab:

9⁴× 9³ = 9⁴⁺³ = 9⁷  

(-3)²× (-3)⁴ = (-3)²⁺⁴ = (-3)⁶

0,7³× 0,7⁶ = 0,7³⁺⁶ = 0,7⁹

Sudah paham belum? jika sudah, coba jawab hasil dari 2²× 2⁷ = ....

b. Sifat Pemangkatan pada Perpangkatan 

Sifat selanjutnya adalah, pemangkatan pada perpangkatan, yaitu dengan hasil pemangkatan dari perpangkatan dengan basis yang sama, berlaku sifat:

(aⁿ )^m = a^nm 

Supaya lebih paham lagi, perhatikan contoh pembahasan dibawah ini:

(4³)² = 4^3x2  = 4⁶

Check: (4³)²  = (4×4×4)²  = (4×4×4)×(4×4×4) = 4×4×4×4×4×4 =  4⁶

Sebagai Latihan soal, sederhanakan operasi pemangkatan pada perpangkatan berikut ini:

• (7³)⁴  = .....
• (7⁴)³  = .....
• (t⁴)³  = .....

Jawab:

(7³)⁴  =  7³×7³×7³×7³ =  (7×7×7)×(7×7×7)×(7×7×7)×(7×7×7) = 7¹² 

(7⁴)³  =  7⁴×7⁴×7⁴ =  (7×7×7×7)×(7×7×7×7)×(7×7×7×7) = 7¹² 

(t⁴)³  =  t⁴×t⁴×t⁴ =  (t×t×t×t)×(t×t×t×t)×(t×t×t×t) = t¹² 

Sudah paham belum? jika sudah, coba jawab hasil dari (t³)⁴  = .....

c. Sifat Perpangkatan dari Perkalian Bilangan

Sifat berikutnya adalah perpangkatan dari perkalian bilangan, yaitu dengan hasil perpangkatan dari suatu perkalian bilangan, berlaku sifat:

(ab)ⁿ  =  aⁿbⁿ 

Supaya lebih paham lagi, perhatikan contoh pembahasan dibawah ini:

(3×4)²  = (3)² × (4)² 

Check: (3×4)²  = (3×4)×(3×4)= 3×3×4×4 = (3)² × (4)² 

Sebagai Latihan soal, sederhanakan operasi perpangkatan dari perkalian bilangan berikut ini:

• (n×y)²  =  .....
• (6×t)³  =  .....
• (2×7)⁴  =  .....

Jawab:

(n×y)²  =  (n×y)×(n×y) = n×n×y×y = (n)²× (y)² 

(6×t)³  = (6×t)×(6×t)×(6×t) = 6×6×6×t×t×t = (6)³× (t)³

(2×7)⁴  = (2×7)×(2×7)×(2×7)×(2×7) =  2×2×2×2×7×7×7×7 = (2)⁴ × (7)⁴ 

Sudah paham belum? jika sudah, coba jawab hasil dari (9×7)³  = .....

2. Pembagian pada Perpangkatan

Operasi hitung pembagian pada bilangan berpangkat, berlaku sifat perpangkatan seperti di bawah ini:

a. Sifat Pembagian dalam Perpangkatan

Salah satu contoh sifat pembagian dalam perpangkatan, yaitu dengan hasil bagi dari perpangkatan basis bilangan yang sama, berlaku sifat:

aⁿ : a^m = a^n-m  , dengan m>n dan b ≠ 0

Supaya lebih paham lagi, perhatikan contoh pembahasan dibawah ini:

4⁹ : 4⁴ = 4^9-4 = 4⁵ 

Check: 4⁹ : 4⁴ = (4×4×4×4×4×4×4×4×4)/(4×4×4×4) = (4×4×4×4×4) = 4⁵

Sebagai Latihan soal, sederhanakan operasi pembagian pada perpangkatan berikut ini:

• 4,2¹⁰ : 4,2⁵ = .....
• (-7)⁷ : (-7)⁵ = .....
• (-2,5)⁴ : (-2,5)² = .....

Jawab:

4,2¹⁰ : 4,2⁵ = (4,2×4,2×4,2×4,2×4,2×4,2×4,2×4,2×4,2×4,2) / (4,2×4,2×4,2×4,2×4,2) =  4,2⁵

(-7)⁷ : (-7)⁵ = ((-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)) / ((-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)) = (-7)² 

(-2,5)⁴ : (-2,5)² = ((-2,5)×(-2,5)×(-2,5)×(-2,5)) / ((-2,5)×(-2,5)) = (-2,5)² 

Sudah paham belum? jika sudah, coba jawab hasil dari 10⁹ : 10³  = .....

b. Sifat Perpangkatan pada Pembagian Pecahan

Sifat pada pembagian selanjutnya adalah perpangkatan pada pecahan, yaitu dengan hasil perpangkatan dari suatu pembagian sebuah bilangan pecahan, berlaku sifat:

(a/b)ⁿ  =  aⁿ/bⁿ

Supaya lebih paham lagi, perhatikan contoh pembahasan dibawah ini:

(3/4)²  =  3²/4² 

Check: (3/4)²  = (3/4) × (3/4) = (3 × 3) / (4 × 4) =  3²/4² 

Sebagai Latihan soal, sederhanakan operasi perpangkatan pada pembagian pecahan berikut ini:

• (-(4/5))³ = .....
• (4/5)³  = .....
• (5/3)³  =  .....

Jawab:

(-(4/5))³ = (-(4/5)) × (-(4/5)) ×(-(4/5)) = - (4×4×4)/ (5×5×5) = -(4³/5³) 

(4/5)⁴ = (4/5) × (4/5) ×(4/5) ×(4/5)  = (4×4×4×4)/ (5×5×5×5) = 4⁴/5⁴

(5/3)³  = (5/3) × (5/3) × (5/3) =  (5×5×5) / (3×3×3) = 5³/3³

Sudah paham belum? jika sudah, coba jawab hasil dari (-(5/3))³  = .....

Jenis-Jenis Perpangkatan (Bilangan Berpangkat)

Terdapat beberapa jenis bilangan berpangkat atau perpangkatan yang dibahas dalam kurikulum SMP. Jenis bilangan perpangkatan itu, diantaranya adalah bilangan berpangkat positif (+), bilangan berpangkat negatif (-) dan bilangan berpangkat nol (0)

Untuk lebih memahami jenis perpangkatan, silakan kalian simak ulasan berikut ini:

1. Bilangan Berpangkat Nol (0)

Pengertian bilangan berpangkat nol, apabila a merupakan suatu bilangan bulat (real) bukan nol, berpangkat nol, memiliki nilai 1. Maka, secara aljabar dapat ditulis: 

a⁰ = 1, untuk a adalah bilangan real dan (a ≠ 0)

Mungkin ada pertanyaan, kenapa a tidak boleh sama dengan nol?

Sesuai pengertian tersebut diatas, sudah jelas apabila a=0, untuk hasil dari 0⁰ tidak dapat ditentukan.

Contoh, dari bilangan berpangkat nol adalah sebagai berikut:

• 1⁰ = 1
• 2⁰ = 1
• 3⁰ = 1
• 100⁰ = 1
• dst.

Contoh soal:

2⁵ : 2⁵  = 2^5-5 = 2⁰ = 1

(-2)³ : (-2)³ =  (-2)^3-3 = -2⁰ = 1

2. Bilangan Berpangkat Positif (+)

Bilangan berpangkat positif yaitu perpangkatan suatu bilangan yang memiliki pangkat atau eksponen berupa bilangan positif. Operasi bilangan berpangat positif mempunyai beberapa sifat, diantaranya:

• aⁿ × a^m = a^n+m
• (ab)ⁿ  =  aⁿbⁿ 
• (aⁿ )^m = a^nm 
• aⁿ : a^m = a^n-m  , dengan m>n dan b ≠ 0
• (a/b)ⁿ  =  aⁿ/bⁿ , dengan b ≠ 0

Sifat-sifat tersebut sudah dijelaskan pada sub bahasan Sifat Bilangan Berpangkat yang terdapat diatas.

3. Bilangan Berpangkat Negatif (-)

Pengertian bilangan berpangkat negatif, apabila a merupakan suatu bilangan bulat (real) bukan nol berpangkat bulat negatif, dengan a adalah bilangan real dan (a ≠ 0) maka berlaku:

a^-n  = 1/aⁿ atau aⁿ  = 1/a^-n 

Supaya lebih paham lagi, perhatikan contoh pembahasan dibawah ini:

• 0,00004 = 4 : 100000 =  4 ×10^-5 
• 5^-6 = 1/5⁶ 

4. Bilangan Berpangkat Pecahan

Pengertian bilangan berpangkat pecahan, apabila a merupakan bilangan bulat real dan a bukan nol; m dan n merupakan bilangan bulat positif maka berlaku: 

a^m/n  = (a^1/n)^m

Sedangkan pengertian selanjutnya, apabila a merupakan bilangan bulat real dan a > 0; p/n dan m/n merupakan bilangan pecahan n ≠ 0, maka berlaku:

(a^m/n ) = (a^p/n ) = (a)^(m+p)/n 

Pengertian selanjutnya, apabila a merupakan bilangan real dan a > 0; m/n dan p/q merupakan bilangan pecahan; q dan n ≠ 0, maka berlaku:

(a^m/n ) = (a^p/q ) = (a)^(m/n)+(p/q)

Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan akar dari suatu bilangan yang hasilnya berupa bilangan irasional, bukan merupakan bilangan rasional. Bentuk akar merupakan bentuk penyebutan lain untuk menyatakan suatu bilangan berpangkat. 

Hasil bilangan bentuk akar termasuk dalam bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai angka pecahan a/b, a dan b bilangan bulat, a dan b ≠ 0.  Bilangan bentuk akar adalah suatu bilangan yang terdapat dalam tanda "√", yang  disebut sebagai tanda akar.

Sebagai contoh:

Bilangan irasional dalam bentuk akar adalah √2, √3, √5, √6, √11 dan lain sebagainya. Sedangkan, untuk bilangan rasional seperti √16, bukanlah bentuk akar. Hal ini, karena √16 = 4, yang mana bilangan 4 adalah bilangan rasional).

Cara Baca: √2= "akar dua"

Sifat Bilangan Akar

Seperti halnya bilangan perpangkatan, untuk bilangan akar juga memiliki sifat-sifat tertentu, yang memudahkan pengoperasian kedalam bentuk aljabar yang melibatkan bilangan akar. Untuk sifat bilangan akar, bisa kalian simak berikut ini:

Sifat-sifat bilangan akar

• √a²  = a 
• √a x b = √a x √b ; untuk a ≥ 0 dan b ≥ 0 
• √a/b = √a / √b ; unyuk a ≥ 0 dan b ≥ 0

Sifat-sifat bilangan akar bisa diterapkan untuk merasionalkan bentuk akar.

Merasionalkan Bentuk Akar

Supaya lebih mudah dalam operasi aljabar dengan penggunaan bentuk akar, maka bentuk akar bisa dituliskan dalam bentuk yang paling rasional (sederhana) terlebih dahulu. Merasionalkan bentuk akar harus memenuhi syarat-syaratnya terlebih dahulu. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut:

Syarat-syarat Merasionalkan Bentuk Akar

Dalam cara merasionalkan bentuk akar ada beberapa syarat-syarat yang harus diperhatikan.

1. Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu

2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut

3. Tidak mengandung pecahan

Cara Merasionalkan Bentuk Akar

Setelah ituu, bagaimana cara merasionalkan penyebut pecahan dalam bilangan bentuk akar? Merasionalkan penyebut pecahan bilangan bentuk akar yaitu dengan cara mengubah penyebut pecahan yang berbentuk akar menjadi bentuk rasional (yang lebih sederhana).

Merasionalkan bentuk akar yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan bentuk akar yang sekawan dari penyebut tersebut. Sudah paham? Jika belum, simak caranya dibawah ini:

Cara Merasionalkan Bentuk Akar:

1. Pecahan bentuk a/√b 

Pecahan dengan bentuk a/√b diselesaikan dengan cara mengalikan dengan bilangan penyebut sekawan. yaitu √b /√b , sehingga dapat diperoleh penyelesaian:

(a/√b) × (√b/√b) = (a√b) / b

2. Pecahan bentuk a/(b+√c)

Pecahan dengan bentuk a/(b+√c), dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan bilangan penyebut sekawan, yaitu (b-√c)/(b-√c). Sehingga dapat diperoleh penyelesian:

a/(b+√c) = a/(b+√c) × (b-√c)/(b-√c) = a(b-√c) / (b² -c)

3. Pecahan bentuk a/(√b+√c)

Pecahan dengan bentuk a/(√b+√c), dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan bilangan penyebut sekawan, yaitu (√b-√c)/(√b-√c). Sehingga dapat diperoleh penyelesian:

a/(√b+√c) = a/(√b+√c) × (√b-√c) / (√b-√c) = a(√b-√c) / (b-c) 

Operasi Aljabar Bilangan Bentuk Akar

Supaya lebih memahami bentuk akar, alangkah lebih baiknya kalian untuk mengetahui sifat-sifat bilangan akar terlebih dahulu. Berikut akan kami sajikan materi operasi hitung dalam bilangan akar. 

Operasi Aljabar dalam bilangan akar diantaranya adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Ada beberapa bentuk operasi aljabar bilangan bentuk akar, antara lain sebagai berikut:

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Syaratnya adalah variabel pada bentuk akar jika ingin dijumlahkan atau dikurangkan, maka harus sejenis dan memenuhi sifat seperti berikut:

Apabila p dan q merupakan bilangan bulat Real, dan a>0, maka berlaku:

p√a + q√a  = (p+q)√a, dan

p√a - q√a  = (p-q)√a

2. Perkalian Bilangan Bentuk Akar

Syaratnya adalah perkalian pada bentuk akar dapat dilakukan dengan variabel pada bentuk akar memenuhi sifat seperti berikut:

Apabila p dan q merupakan bilangan bulat Real;  a>0 dan b>0, maka berlaku:

p√a ×  q√a  = pq√(a× b)

3. Pembagian Bilangan Bentuk Akar

Syaratnya adalah pembagianpada bentuk akar dapat dilakukan dengan variabel pada bentuk akar memenuhi sifat seperti berikut:

Apabila a dan b merupakan bilangan bulat Real;  a>0 dan b>0, maka berlaku:

√a / √b = √(a/b)

Sekian artikel tentang rangkuman materi Perpangkatan dan Bentuk Akar, semoga setelah membaca rangkuman materi BAB 1 matematika kelas 9 SMP ini kalian lebih paham dan mampu mengerjakan soal-soal dengan mudah. Apabila ada hal yang ingin ditanyakan dan dibahaw, silakan koemntar dibawah ya!